Prímszámok végtelenjét érzékelő képlet? – Megdöbbentő mintázatot találtak a matematika legrejtélyesebb számai mögött
A matematika legnagyobb talányai közé tartoznak a prímszámok. Látszólag véletlenszerűen bukkannak fel a számvonalon, nem lehet őket kiszámítható szabály szerint előállítani, és mégis: minden szám alapvető építőkövei. Most egy új kutatás döbbenetes eredménnyel állt elő: kiderült, hogy egy klasszikus matematikai eszköz, az úgynevezett „partíciós függvény” segítségével kimutathatók a prímszámok – méghozzá végtelen sok módon.
A felfedezés Ken Ono professzor és két kollégája nevéhez fűződik, és a Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) folyóiratban jelent meg. Ono munkáját annyira nagyra értékelték, hogy a 2025-ös Cozzarelli-díj egyik esélyesének is megnevezték, amely a fizikai tudományok legjelentősebb publikációit díjazza.
A prímszámok: a számelmélet titokzatos atomjai
A prímszámok – vagyis azok a természetes számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók – több ezer éve foglalkoztatják a matematikusokat. Már Kr. e. 3. században Eratoszthenész megalkotta a híres „szitáját”, amellyel ki lehetett szűrni a nem prímszámokat. Azóta számtalan módszerrel próbálták megjósolni vagy rendszerezni a prímszámokat – kevés sikerrel.
Ahogy Ken Ono fogalmaz:
„A prímszámok évszázadok óta kutatás tárgyát képezik, mégis a legalapvetőbb tulajdonságaik közül sok továbbra is rejtély maradt. A mi bizonyításunk viszont új, végtelen számú módot kínál a prímszámok felismerésére – anélkül, hogy oszthatóságot kellene vizsgálni.”
Ez különösen jelentős, hiszen a számítógépes titkosítás – például az RSA-rendszer, amely hitelkártyák vagy jelszavak védelmét is biztosítja – a nagy prímszámok nehéz kiszámíthatóságán alapul.
Egy egyszerű, de rejtett kulcs: az egész számok partíciója
A felfedezés másik kulcseleme egy olyan területről jön, amely kívülről gyerekjátéknak tűnhet: ez a partícióelmélet. Egyszerűen fogalmazva: egy szám partíciója az, ahogyan azt különböző összegek formájában felbonthatjuk. Például a 4 partíciói: 3+1, 2+2, 2+1+1 és 1+1+1+1.
Ezek az egyszerű felbontások azonban mély matematikai összefüggéseket rejtenek. Kapcsolódnak például a diofantikus egyenletekhez, vagyis olyan egyenletekhez, amelyeknek végtelen sok egész vagy racionális megoldása lehet – mint például Pitagorasz vagy Markov egyenletei.
Ono és munkatársai most azt mutatták meg, hogy a prímszámok valójában megoldásai bizonyos partíciós függvényekben megjelenő különleges diofantikus egyenleteknek. Egyszerűbben fogalmazva: a számok partíciós mintázataiban végtelen sok módon felismerhetők a prímszámok.
„Olyan, mintha a munkánk végtelen számú új definíciót adna a prímszámokra. Ez szinte felfoghatatlan.” – mondta Ken Ono.
Régi eszköz, új fényben
Ami igazán lenyűgöző: mindezt nem új matematikai eszközökkel érték el. Ono szerint:
„Ez elméleti matematika, amit akár évtizedekkel ezelőtt is meg lehetett volna csinálni. Ha lenne időgépem, visszamehetnék 1950-be, és ugyanilyen lelkesedést váltanánk ki ezzel a munkával – az akkori szakemberek is megértenék, mit tettünk.”
A felfedezés eredetileg egy diák kérdéséből indult, és két matematikai világot – a számelméletet és a kombinatorikát – kapcsolt össze. Egy olyan kapocs jött létre, amelyről eddig senki sem tudott, pedig elérhető közelségben volt.
Mit jelent ez a jövőre nézve?
A felfedezés hatása még nem teljesen felmérhető, de a matematikusok máris izgatottak. A Goldbach-sejtés vagy a Riemann-sejtés továbbra is hatalmas falak, de új irányokat nyithatnak meg más, eddig zárt területeken.
Kathrin Bringmann, a Kölni Egyetem matematikusa úgy fogalmazott:
„Elképesztő, hogy egy ilyen klasszikus kombinatorikai objektum, mint a partíciófüggvény, képes felismerni a prímszámokat ebben a formában.”
A kriptográfiát egyelőre nem fenyegeti közvetlen veszély – a felfedezés nem jelenti azt, hogy mostantól könnyű lenne feltörni a titkosított adatokat. Ugyanakkor a kutatás rámutat, hogy a prímszámok és kvantumszámítógépek jövőbeli összjátéka kulcsfontosságú kérdés marad.
„A világ egyelőre biztonságban van. De a prímszámok megértése továbbra is kulcsfontosságú terület, főleg a kvantumszámítógépek korában.” – figyelmeztet Ono.
Egyetlen kérdés marad: ha ennyi éven át rejtve maradt ez az összefüggés, vajon mi minden lehet még a matematika mélyén, ami csak a megfelelő kérdésre vár?
